Wahrscheinlichkeiten und statistische Begründung

Das mathematische Modell des Dayan-Schafgarbenverfahrens

Auf Grundlage der vom Betreiber bereitgestellten Herleitung erläutert diese Seite das Befragungsmodell der Website anhand dreier Wandlungen, von Kongruenzen und Übergängen zwischen diskreten Zuständen.

Zunächst die Annahmen

Dieser Text behandelt ein idealisiertes Wahrscheinlichkeitsmodell vor dem Hintergrund des Dayan-Schafgarbenverfahrens, das Zhu Xi im Yixue Qimeng beschreibt. Er liefert keine empirischen Schlussfolgerungen über sämtliche Arten der tatsächlichen Stängelteilung. Es wird angenommen, dass bei jeder Wandlung die Reste 1, 2, 3 und 4 der linken Hand gleich wahrscheinlich sind und diese Annahme bei jeder weiteren Wandlung unter der Bedingung des aktuellen Zustands weiterhin gilt. Die sechs Linien werden unabhängig voneinander ermittelt.

Eine gleichverteilte Wahl der Teilungsstelle bedeutet nicht zwangsläufig gleichverteilte Reste. Randpunkte, leere Bündel und Handhabungsgewohnheiten können die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten verändern. Diese Website zieht Stichproben aus der folgenden theoretischen Verteilung; sie simuliert nicht das tatsächliche Greifen der Schafgarbenstängel durch die Nutzer.

1. Drei Wandlungen und Reste

„Die Zahl der Großen Entfaltung ist fünfzig; davon werden neunundvierzig verwendet.“ Für jede Linie beginnt man mit 49 Stängeln und führt dreimal dieselben Schritte aus: in zwei Bündel teilen, einen Stängel beiseitelegen, in Vierergruppen zählen und die Reste absondern. Bei einem nicht leeren Bündel wird einer restlosen Teilung der Rest 4 zugewiesen:

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

Erste Wandlung: 5 oder 9 entfernen

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

Die Reste nach dem Zählen in Vierergruppen seien x und y, jeweils zwischen 1 und 4. Ihre Summe x+y kann nur 4 oder 8 betragen. Einschließlich des einzeln beiseitegelegten Stängels ergibt sich für die insgesamt entfernte Anzahl D₁:

Die vier gleich wahrscheinlichen Restklassen der ersten Wandlung
x	y	Entfernte Anzahl einschließlich des einzelnen Stängels
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

Zweite und dritte Wandlung: 4 oder 8 entfernen

Nach der ersten Wandlung verbleiben 44 oder 40 Stängel, jeweils ein Vielfaches von 4. Nach dem Beiseitelegen eines Stängels ist die Gesamtzahl kongruent zu 3 modulo 4.

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

Die Summe der Reste kann nur 3 oder 7 betragen. Bei (1,2) und (2,1) werden einschließlich des einzelnen Stängels insgesamt 4 entfernt; bei (3,4) und (4,3) sind es 8. Dies gilt für alle bei den folgenden Wandlungen erreichbaren Zustände:

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

Ein Zustand besteht aus der Nummer der Wandlung und der aktuell verbleibenden Stängelzahl. Der nächste Zustand hängt nur vom aktuellen Zustand und vom zufälligen Rest dieser Wandlung ab. Das Verfahren lässt sich daher als Markow-Prozess mit endlich vielen Schritten auffassen. Dies ist eine mathematische Beschreibung, kein Beweis für metaphysische Wirksamkeit.

2. Verteilung der vier Linientypen und Erwartungswert

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

Pfade der drei Wandlungen und Wahrscheinlichkeiten der vier Linientypen
Linientyp / Linienwert	Entfernungskombinationen	Verbleibend	Wahrscheinlichkeit
Altes Yang 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
Junges Yin 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
Junges Yang 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
Altes Yin 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

Die Werte 6, 7, 8 und 9 haben die Gewichte 1, 5, 7 beziehungsweise 3; deren Summe ist 16.

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7,75 ist der Mittelwert der Zahlencodierung für die Linienwerte. Junges Yin hat die höchste Einzelwahrscheinlichkeit; insgesamt entfallen jedoch je die Hälfte auf Yin und Yang:

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

Aus dem Erwartungswert lässt sich deshalb keine „Erhaltung der Yin-Sanftheit“ oder eine andere philosophische Aussage ableiten. „Yang wandelt sich leicht, Yin schwer“ kann als kulturelle Deutung dienen. Unmittelbar aus dem Modell folgt: Altes Yang tritt häufiger auf als altes Yin.

3. Wandelnde und ruhende Linien sowie Sonderfälle

Wandel oder Ruhe einer einzelnen Linie

M bezeichnet eine wandelnde Linie. Altes Yang 9 und altes Yin 6 wandeln sich; junges Yang 7 und junges Yin 8 bleiben unverändert.

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

Sind die sechs Linien unabhängig, folgt die Gesamtzahl K der wandelnden Linien einer Binomialverteilung:

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

Alle sechs Linien ruhen

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

Anwendung der Neun: sechs Linien altes Yang, Qian wandelt sich in Kun

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

Anwendung der Sechs: sechs Linien altes Yin, Kun wandelt sich in Qian

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

„Anwendung der Neun“ und „Anwendung der Sechs“ bezeichnen hier ausschließlich die Anzeigebedingungen dieser Website, wenn alle sechs Linien den Wert 9 beziehungsweise 6 haben. Damit werden nicht sämtliche alten Regeln der Orakeldeutung gleichgesetzt. Sechsmal altes Yin ist die seltenste bestimmte Folge von sechs Linienwerten in diesem Modell.

4. Pi wandelt sich in Tai

Pi besteht aus Qian oben und Kun unten. Damit alle sechs Linien ihre Polarität wechseln und Tai bilden, müssen die oberen drei altes Yang und die unteren drei altes Yin sein. Das Array im Programm ordnet die Linien von unten nach oben an und lautet daher [6, 6, 6, 9, 9, 9]; liest man das Bild von oben nach unten, ergibt sich [9, 9, 9, 6, 6, 6].

A. Gemeinsame Wahrscheinlichkeit vor der Befragung

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B. Bedingte Wahrscheinlichkeit bei bekanntem Ausgangszeichen Pi

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

Zur Kontrolle kann man auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeit durch die Wahrscheinlichkeit von Pi teilen:

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

Die beiden Wahrscheinlichkeiten beantworten unterschiedliche Fragen und sind nicht austauschbar. Die Symbole Pi und Tai bezeichnen die entsprechenden Hexagramme.

5. Programm und beobachtete Statistik

Das Programm bildet eine gleichverteilte zufällige ganze Zahl auf einen von 16 gleich wahrscheinlichen Zuständen ab und bestimmt daraus anhand des Ergebnisses der drei Wandlungen eine Linie. Die Tests zählen alle 4⁶ = 4096 Folgen von Linienwerten auf und gewichten sie mit 1, 5, 7 und 3. So prüfen sie die theoretischen Wahrscheinlichkeiten aller Ausgangs- und Folgezeichen, der Anwendung der Neun und Sechs sowie von Pi zu Tai, statt sich allein auf eine kleine Zufallsstichprobe zu stützen.

Die theoretische Verteilung sagt das Verhalten der Besucher nicht voraus. Die Statistiken der Website werden durch Selbstselektion, die Ablehnung der Nachverfolgung und die Stichprobengröße beeinflusst. Ein Zusammenhang zwischen einer erneuten Befragung und dem Öffnen des klassischen Textes belegt keine Kausalität und bedeutet auch nicht, dass jemand mit dem vorigen Hexagramm unzufrieden war.