Probabilités et raisonnement statistique

Le modèle mathématique de la méthode de divination Dayan

À partir de la démonstration fournie par le propriétaire du site, cette page explique le modèle de tirage du site à l’aide de trois transformations, de congruences et de transitions entre états discrets.

D’abord, les hypothèses

Ce texte présente un modèle probabiliste idéalisé fondé sur la méthode Dayan décrite par Zhu Xi dans le Yixue Qimeng. Il ne s’agit pas de conclusions expérimentales valables pour toutes les manières de répartir physiquement les tiges. On suppose qu’à chaque transformation, les restes 1, 2, 3 et 4 de la main gauche sont équiprobables et que cette hypothèse reste valable à chaque transformation suivante, conditionnellement à l’état courant. Les tirages des six traits sont indépendants.

Choisir uniformément un point de partage ne garantit pas une distribution uniforme des restes. Les extrémités, les poignées vides et les habitudes de manipulation peuvent modifier les probabilités réelles. Ce site effectue ses tirages selon la distribution théorique ci-dessous ; il ne simule pas la prise physique des tiges d’achillée par l’utilisateur.

1. Trois transformations et les restes

« Le nombre du Grand Déploiement est cinquante ; on en utilise quarante-neuf. » Chaque trait commence avec 49 tiges et nécessite trois répétitions des opérations suivantes : partager en deux tas, mettre une tige à part, compter par groupes de quatre et recueillir les restes. Pour une poignée non vide, une division exacte reçoit un reste de 4 :

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

Première transformation : retirer 5 ou 9

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

Soient x et y les restes après le comptage par quatre, chacun compris entre 1 et 4. La somme x+y ne peut être que 4 ou 8. En comptant la tige mise à part, le nombre total retiré, D₁, est le suivant :

Les quatre classes de restes équiprobables de la première transformation
x	y	Nombre retiré, tige mise à part comprise
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

Deuxième et troisième transformations : retirer 4 ou 8

Après la première transformation, il reste 44 ou 40 tiges, deux multiples de 4. Après avoir mis une tige à part, le total est congru à 3 modulo 4.

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

La somme des restes ne peut être que 3 ou 7. Les paires (1,2) et (2,1) conduisent à retirer 4 tiges, celle mise à part comprise ; les paires (3,4) et (4,3) en retirent 8. Cela vaut pour tous les états accessibles lors des transformations suivantes :

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

Un état est défini par le numéro de la transformation et le nombre de tiges restantes. L’état suivant ne dépend que de l’état courant et du reste aléatoire de cette transformation. On peut donc décrire la procédure comme un processus de Markov en un nombre fini d’étapes. C’est une description mathématique, pas une preuve d’efficacité métaphysique.

2. Distribution des quatre types de traits et espérance

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

Parcours des trois transformations et probabilités des quatre types de traits
Type / valeur du trait	Combinaisons de retraits	Tiges restantes	Probabilité
Vieux yang 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
Jeune yin 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
Jeune yang 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
Vieux yin 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

Les poids de 6, 7, 8 et 9 sont respectivement 1, 5, 7 et 3, pour un total de 16.

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7,75 est la moyenne du codage numérique attribué aux traits. Le jeune yin possède la probabilité individuelle la plus élevée, mais le yin et le yang représentent chacun la moitié du total :

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

L’espérance ne permet donc pas de déduire une « conservation de la douceur yin » ni une autre proposition philosophique. « Le yang change aisément, le yin difficilement » peut constituer une interprétation culturelle ; ce que le modèle établit directement, c’est que le vieux yang apparaît plus souvent que le vieux yin.

3. Traits mobiles, traits fixes et cas particuliers

Mobilité d’un seul trait

M désigne un trait mobile. Le vieux yang 9 et le vieux yin 6 changent ; le jeune yang 7 et le jeune yin 8 restent fixes.

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

Lorsque les six traits sont indépendants, leur nombre total de traits mobiles, K, suit une loi binomiale :

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

Les six traits sont fixes

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

Emploi du neuf : six traits vieux yang, Qian se transforme en Kun

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

Emploi du six : six traits vieux yin, Kun se transforme en Qian

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

Ici, « Emploi du neuf » et « Emploi du six » désignent uniquement les conditions d’affichage du site lorsque les six traits valent tous 9 ou tous 6. Cela n’assimile pas l’ensemble des anciennes règles d’interprétation divinatoire à ces conditions. Six vieux yin constituent la suite précise de six valeurs de traits la plus rare dans ce modèle.

4. Pi se transforme en Tai

Pi présente Qian en haut et Kun en bas. Pour que les six traits s’inversent et forment Tai, les trois traits supérieurs doivent être vieux yang, et les trois inférieurs vieux yin. Le tableau du programme classe les traits de bas en haut, soit [6, 6, 6, 9, 9, 9] ; en lisant le diagramme de haut en bas, on obtient [9, 9, 9, 6, 6, 6].

A. Probabilité conjointe avant tout tirage

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B. Probabilité conditionnelle sachant que l’hexagramme initial est Pi

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

On peut aussi vérifier le résultat en divisant la probabilité conjointe par la probabilité d’obtenir Pi :

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

Ces deux probabilités répondent à des questions différentes et ne sont pas interchangeables. Les symboles Pi et Tai désignent les hexagrammes correspondants.

5. Le programme et les statistiques observées

Le programme associe un entier aléatoire uniforme à l’un de 16 états équiprobables, puis obtient un trait à partir du résultat des trois transformations. Les tests énumèrent chacune des 4⁶ = 4096 suites de valeurs de traits et les pondèrent par 1, 5, 7 et 3. Ils vérifient ainsi les probabilités théoriques de tous les hexagrammes initiaux et résultants, de l’Emploi du neuf et du six, et de Pi se transformant en Tai, sans se limiter à un petit échantillon aléatoire.

La distribution théorique ne prédit pas le comportement des visiteurs. Les statistiques du site dépendent de l’autosélection des participants, du refus du suivi et de la taille de l’échantillon. Une association entre un nouveau tirage et l’ouverture du texte source n’établit pas de causalité et ne signifie pas non plus une insatisfaction à l’égard de l’hexagramme précédent.