確率と統計の論証

大衍筮法の数学モデル

運営者が提供した導出をもとに、三変、合同式、離散的な状態遷移によって、このサイトの起卦モデルを説明します。

まず、仮定について

ここで扱うのは、朱熹『易学啓蒙』に記された大衍筮法を背景とする理想化された確率モデルです。実際のあらゆる蓍草の分け方について、実測から得た結論ではありません。各変で左手の余り 1、2、3、4 が等確率であり、以後の各変でも現在の状態を条件としたときに、この仮定が成り立つとします。また、六回の起爻は互いに独立とします。

「束を分ける位置」を一様に選ぶことは、必ずしも「余りが一様」であることを意味しません。分割位置の端点、空の束、操作の習慣は、実際の確率を変える可能性があります。このサイトは以下の理論分布から標本を得ており、利用者が実際に蓍草を手に取る動作を模擬しているわけではありません。

一、三変と余り

「大衍の数は五十、その用は四十有九」。一爻は 49 本から始め、二つに分け、一本を掛け、四本ずつ数え、余りを取り分ける操作を三回行います。空でない束では、割り切れたときの余りを 4 とします。

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

第一変：5 本または 9 本を取り除く

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

四本ずつ数えた余りを x、y とし、いずれも 1 から 4 の値を取るとします。x+y は 4 または 8 に限られます。掛けた一本を加えると、取り除く総数 D₁ は次のようになります。

第一変における四つの等確率な余りの組
x	y	掛けた一本を含む除去数
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

第二・第三変：4 本または 8 本を取り除く

第一変の後に残るのは 44 本または 40 本で、いずれも 4 の倍数です。一本を掛けた後の総数は、4 を法として 3 と合同です。

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

余りの和は 3 または 7 に限られます。(1,2)、(2,1) では掛けた一本を含めて計 4 本を、(3,4)、(4,3) では計 8 本を取り除きます。これは、それ以降に到達できるすべての状態で成り立ちます。

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

状態を「何回目の変か、現在何本残っているか」と定めます。次の状態は現在の状態と今回のランダムな余りだけに依存するため、有限ステップのマルコフ過程とみなせます。これは数学的な記述であり、占筮の神秘的な効力を証明するものではありません。

二、四象の分布と期待値

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

三変の経路と四象の確率
象／爻の数値	取り除く数の組合せ	残る本数	確率
老陽 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
少陰 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
少陽 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
老陰 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

6、7、8、9 の重みは順に 1、5、7、3 で、合計は 16 です。

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7.75 は、爻を数値で表した符号の平均値です。個別には少陰の確率が最も高くなりますが、陰と陽の合計はそれぞれ半分です。

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

したがって、この期待値から「陰柔が保存される」といった哲学的命題を導くことはできません。「陽は変わりやすく、陰は変わりにくい」という文化的な解釈は可能ですが、モデルから直接確認できるのは、老陽が老陰よりも出現しやすいということです。

三、変爻・静爻と特別な場合

一爻が変わるか、変わらないか

M を変爻とします。老陽 9 と老陰 6 は変わり、少陽 7 と少陰 8 は変わりません。

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

六爻が独立であれば、変爻の総数 K は二項分布に従います。

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

六爻がすべて静爻

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

用九：六爻がすべて老陽となり、乾から坤へ

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

用六：六爻がすべて老陰となり、坤から乾へ

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

ここでいう「用九／用六」は、このサイトで六爻がすべて 9／6 となったときの表示条件に限ります。古代の占筮解釈の規則すべてを、この条件と同一視するものではありません。六爻すべてが老陰となる並びは、このモデルで最もまれな、特定の六爻の数値列です。

四、否から泰への変化

否は上が乾、下が坤です。六爻すべてを反転させて泰にするには、上の三爻が老陽、下の三爻が老陰でなければなりません。プログラムの配列は初爻から上爻への順なので、[6, 6, 6, 9, 9, 9]となります。図を上から下へ読む場合は、[9, 9, 9, 6, 6, 6]となります。

A．条件を与えずに始めた場合の同時確率

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B．本卦が否と分かっている場合の条件付き確率

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

同時確率を否の出現確率で割って、検算することもできます。

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

この二つの確率は異なる問いに答えるものであり、互いに置き換えることはできません。記号 Pi、Tai はそれぞれ否、泰を表します。

五、プログラムと実際の統計

プログラムは一様な乱数整数を 16 個の等確率な状態に対応させ、三変の結果に基づいて一爻を得ます。テストでは、4⁶＝4096 通りの爻の数値列をすべて列挙し、1、5、7、3 の重みを用いて、すべての本卦・之卦、用九・用六、否から泰への変化の理論確率を検証します。少数のランダムな標本だけで判断するものではありません。

理論分布は、訪問者の行動を予測するものではありません。サイト内の統計は、参加するかどうかの選択、追跡の拒否、標本数の影響を受けます。再び卦を立てることと経文を開くことの関連は因果関係を意味せず、前の卦への不満を示すものでもありません。