확률과 통계 논증

대연서법의 수학 모형

운영자가 제공한 유도 과정을 바탕으로, 세 번의 변, 합동식과 이산 상태 전이를 통해 이 사이트의 기괘 모형을 설명합니다.

먼저, 모형의 가정

이 글은 주희의 《역학계몽》에 설명된 대연서법을 배경으로 한 이상화된 확률 모형을 다룹니다. 실제로 시초를 나누는 모든 방식에 대해 실측한 결론은 아닙니다. 각 변에서 왼손의 나머지 1, 2, 3, 4가 같은 확률로 나오며, 이후의 각 변에서도 현재 상태가 주어졌을 때 이 가정이 성립한다고 가정합니다. 또한 여섯 번의 효 생성은 서로 독립입니다.

‘묶음을 나누는 위치’를 균등하게 뽑는다고 해서 반드시 ‘나머지가 균등’해지는 것은 아닙니다. 분할 위치의 끝점, 빈 묶음, 조작 습관은 실제 확률에 영향을 줄 수 있습니다. 이 사이트는 아래의 이론 분포에서 표본을 추출하며, 사용자가 실제로 시초를 집는 동작을 모사하지 않습니다.

1. 세 번의 변과 나머지

‘대연의 수는 쉰이지만, 쓰는 것은 마흔아홉이다.’ 한 효는 49개의 시초로 시작하여, 둘로 나누고 하나를 떼어 걸고 네 개씩 세어 나머지를 따로 모으는 절차를 세 번 거칩니다. 비어 있지 않은 묶음이 나누어떨어질 때는 나머지를 4로 봅니다.

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

첫 번째 변: 5개 또는 9개 제거

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

네 개씩 센 뒤의 나머지를 x, y라고 하면, 둘 다 1부터 4 사이의 값을 가집니다. x+y는 4 또는 8만 가능합니다. 따로 건 한 개를 더하면 총 제거 수 D₁은 다음과 같습니다.

첫 번째 변에서 확률이 같은 네 가지 나머지 쌍
x	y	건 한 개를 포함한 제거 수
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

두 번째와 세 번째 변: 4개 또는 8개 제거

첫 번째 변 뒤에는 44개 또는 40개가 남으며, 둘 다 4의 배수입니다. 하나를 떼어 건 뒤의 총수는 법 4에 대해 3과 합동입니다.

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

나머지의 합은 3 또는 7만 가능합니다. (1,2), (2,1)은 따로 건 한 개를 포함해 총 4개를 제거하고, (3,4), (4,3)은 총 8개를 제거합니다. 이는 이후 도달 가능한 모든 상태에서 성립합니다.

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

상태를 ‘몇 번째 변인지, 현재 몇 개가 남았는지’로 정의합니다. 다음 상태는 현재 상태와 이번의 무작위 나머지에만 의존하므로, 유한한 단계의 마르코프 과정으로 볼 수 있습니다. 이는 수학적 기술이며, 점술의 신비적 효력을 입증하는 것은 아닙니다.

2. 사상의 분포와 기댓값

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

세 번의 변 경로와 사상의 확률
상／효의 수치	제거 수의 조합	남은 수	확률
노양 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
소음 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
소양 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
노음 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

6, 7, 8, 9의 가중치는 차례로 1, 5, 7, 3이며, 합은 16입니다.

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7.75는 효를 수치로 부호화했을 때의 평균값입니다. 개별적으로는 소음의 확률이 가장 높지만, 음과 양의 전체 확률은 각각 절반입니다.

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

따라서 기댓값만으로 ‘음의 유연함이 보존된다’거나 다른 철학적 명제를 도출할 수는 없습니다. ‘양은 변하기 쉽고 음은 변하기 어렵다’는 문화적 해석은 가능하지만, 모형에서 직접 확인할 수 있는 것은 노양이 노음보다 더 자주 나타난다는 점입니다.

3. 변효·정효와 특수한 경우

한 효의 움직임과 정지

M은 변효를 나타냅니다. 노양 9와 노음 6은 변하고, 소양 7과 소음 8은 변하지 않습니다.

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

여섯 효가 독립일 때, 변효의 총수 K는 이항분포를 따릅니다.

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

여섯 효가 모두 정효인 경우

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

용구: 여섯 효가 모두 노양이며, 건괘에서 곤괘로

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

용육: 여섯 효가 모두 노음이며, 곤괘에서 건괘로

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

여기서 ‘용구／용육’은 이 사이트에서 여섯 효가 모두 9／6일 때의 표시 조건만을 뜻합니다. 고대의 모든 점괘 해석 규칙을 이 조건과 동일시하지 않습니다. 여섯 효가 모두 노음인 수열은 이 모형에서 가장 드문 특정한 여섯 효의 수치 배열입니다.

4. 비괘에서 태괘로의 변화

비괘는 위가 건, 아래가 곤입니다. 여섯 효를 모두 뒤집어 태괘가 되려면 위의 세 효는 노양, 아래의 세 효는 노음이어야 합니다. 프로그램 배열은 초효에서 상효 순으로 나열하므로 [6, 6, 6, 9, 9, 9]이며, 그림을 위에서 아래로 읽을 때는 [9, 9, 9, 6, 6, 6]입니다.

A. 아무 조건 없이 시작했을 때의 결합확률

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B. 본괘가 비괘임을 알 때의 조건부확률

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

결합확률을 비괘가 나올 확률로 나누어 검산할 수도 있습니다.

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

두 확률은 서로 다른 질문에 답하므로 바꾸어 쓸 수 없습니다. 기호 Pi와 Tai는 각각 비괘와 태괘를 가리킵니다.

5. 프로그램과 실제 통계

프로그램은 균등한 무작위 정수를 확률이 같은 16개 상태에 대응시키고, 세 번의 변 결과에 따라 한 효를 얻습니다. 테스트에서는 4⁶＝4096가지 효 수치 배열을 모두 열거하고 1, 5, 7, 3의 가중치를 적용하여, 모든 본괘와 지괘, 용구와 용육, 비괘가 태괘로 변하는 경우의 이론 확률을 검증합니다. 소수의 무작위 표본만으로 판단하는 방식이 아닙니다.

이론 분포는 방문자 행동의 예측이 아닙니다. 사이트 통계는 참여 여부의 선택, 추적 거부와 표본 크기에 영향을 받습니다. 다시 괘를 뽑는 것과 경문을 여는 것의 연관성은 인과관계를 뜻하지 않으며, 이전 괘에 불만이 있었다는 뜻도 아닙니다.