Probabilitates et rationes statisticae

Exemplar mathematicum methodi divinatoriae Dayan

Ex deductione ab auctore situs proposita, exemplar quo hic situs hexagrammata ducit explicatur per tres mutationes, congruentias et transitus inter status discretos.

Primum de praesuppositionibus

Hic tractatur exemplar probabilisticum idealizatum, methodo Dayan innixum quam Zhu Xi in opere Yixue Qimeng describit. Non proponuntur conclusiones experimentis probatae de omnibus modis quibus caules re ipsa dividuntur. Ponitur in unaquaque mutatione numeros residuos manus sinistrae 1, 2, 3 et 4 aeque probabiles esse; eadem praesuppositio in unaquaque mutatione sequenti, dato statu praesenti, valere ponitur. Sex generationes linearum inter se independentes sunt.

Locus divisionis uniformiter sorte electus numeros residuos uniformiter distributos non necessario efficit. Fines, manipuli vacui et consuetudines operandi probabilitates veras mutare possunt. Hic situs secundum distributionem theoreticam infra datam sortes eligit; actum usoris caules millefolii manu sumentis non simulat.

1. Tres mutationes et numeri residui

« Numerus Magnae Expansionis est quinquaginta; ex eis quadraginta novem adhibentur. » Unaquaeque linea a 49 caulibus incipit; ter caules in duos cumulos dividuntur, unus seponitur, reliqui quaterni numerantur et residui colliguntur. In manipulo non vacuo, si divisio exacta est, numerus residuus 4 assignatur:

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

Prima mutatio: 5 aut 9 removentur

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

Sint x et y numeri residui post enumerationem quaternorum, uterque inter 1 et 4. Summa x+y non nisi 4 aut 8 esse potest. Caulem unum sepositum includendo, numerus totus caulium remotorum D₁ talis est:

Quattuor classes residuorum aeque probabiles primae mutationis
x	y	Numerus remotus, caule uno seposito incluso
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

Secunda et tertia mutatio: 4 aut 8 removentur

Post primam mutationem 44 aut 40 caules supersunt; uterque numerus est multiplex 4. Uno caule seposito, numerus totus congruit numero 3 modulo 4.

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

Summa residuorum non nisi 3 aut 7 esse potest. Paria (1,2) et (2,1), caule seposito incluso, 4 caules removent; paria (3,4) et (4,3) removent 8. Hoc valet in omnibus statibus ad quos mutationes sequentes pervenire possunt:

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

Status definitur ordine mutationis et numero caulium qui tunc supersunt. Status proximus tantum a statu praesenti et numero residuo fortuito huius mutationis pendet. Procedendi ratio igitur processus Markovianus finitis gradibus haberi potest. Haec est descriptio mathematica, non probatio efficaciae metaphysicae.

2. Distributio quattuor generum linearum et valor exspectatus

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

Viae trium mutationum et probabilitates quattuor generum linearum
Genus lineae / valor	Combinationes numerorum remotorum	Caules residui	Probabilitas
Yang vetus 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
Yin novum 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
Yang novum 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
Yin vetus 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

Valoribus 6, 7, 8 et 9 respondent pondera 1, 5, 7 et 3, eodem ordine; summa ponderum est 16.

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7.75 est medium valorum numericorum quibus lineae significantur. Yin novum inter singulos eventus maximam probabilitatem habet; yin tamen et yang, suis generibus coniunctis, singula dimidiam partem efficiunt:

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

Ex valore exspectato igitur deduci non potest « conservatio lenitatis yin » neque alia propositio philosophica. « Yang facile, yin difficulter mutatur » interpretatio culturalis esse potest; ex exemplari autem directe constat yang vetus saepius quam yin vetus apparere.

3. Lineae mutantes, lineae immotae et casus speciales

Utrum linea singula mutetur

M lineam mutantem significat. Yang vetus 9 et yin vetus 6 mutantur; yang novum 7 et yin novum 8 non mutantur.

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

Si sex lineae independentes sunt, numerus totus linearum mutantium K distributionem binomialem sequitur:

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

Omnes sex lineae immotae

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

Usus Novem: omnes sex lineae yang vetus sunt, Qian in Kun mutatur

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

Usus Sex: omnes sex lineae yin vetus sunt, Kun in Qian mutatur

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

Hic « Usus Novem » et « Usus Sex » tantum condiciones significant quibus situs haec ostendit, cum omnes sex lineae 9 aut omnes 6 valent. Non omnes antiquae regulae interpretationis divinatoriae his condicionibus aequiparantur. Sex lineae yin vetus seriem definitam sex valorum linearum in hoc exemplari rarissimam constituunt.

4. Pi in Tai mutatur

Pi habet Qian supra et Kun infra. Ut omnes sex lineae in contrariam formam mutentur et Tai efficiant, tres superiores yang vetus, tres inferiores yin vetus esse debent. Series in programmate a linea infima ad supremam ordinatur, itaque est [6, 6, 6, 9, 9, 9]; figura autem a summo ad imum lecta exhibet [9, 9, 9, 6, 6, 6].

A. Probabilitas coniuncta ante sortitionem

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B. Probabilitas condicionata, dato hexagrammate primo Pi

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

Id etiam comprobari potest dividendo probabilitatem coniunctam per probabilitatem hexagrammatis Pi:

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

Hae duae probabilitates diversis quaestionibus respondent neque inter se substitui possunt. Symbola Pi et Tai hexagrammata respective designant.

5. Programma et statisticae observatae

Programma numerum integrum fortuitum uniformiter distributum in unum ex 16 statibus aeque probabilibus convertit, deinde lineam ex eventu trium mutationum obtinet. Probationes omnes 4⁶ = 4096 series valorum linearum singillatim enumerant, ponderibus 1, 5, 7 et 3 adhibitis, ut probabilitates theoreticas omnium hexagrammatum primorum et mutatorum, Usus Novem, Usus Sex et transitus a Pi ad Tai comprobent. Non iudicant tantum ex parvo specimine fortuito.

Distributio theoretica mores visitatorum non praedicit. Statisticae situs afficiuntur electione propria participandi, recusatione observationis et magnitudine speciminis. Coniunctio inter iteratam sortitionem et textum classicum apertum causalitatem non demonstrat neque significat hexagramma prius usori displicuisse.