Luận chứng xác suất và thống kê

Mô hình toán học của phép Đại diễn

Dựa trên phép suy dẫn do chủ trang cung cấp, bài viết dùng ba lần biến, đồng dư và chuyển trạng thái rời rạc để giải thích mô hình gieo quẻ của trang.

Trước hết, các giả định

Bài viết xét một mô hình xác suất lý tưởng hóa dựa trên phép Đại diễn được Chu Hy mô tả trong Dịch học khải mông, không phải kết luận thực nghiệm cho mọi cách chia cỏ thi ngoài thực tế. Giả định ở mỗi lần biến, số dư bên tay trái 1, 2, 3, 4 có xác suất bằng nhau; ở các lần biến tiếp theo, giả định này vẫn đúng khi đã biết trạng thái hiện tại. Sáu lần tạo hào độc lập với nhau.

Chọn đều ‘vị trí chia bó’ không nhất thiết có nghĩa là ‘số dư phân bố đều’. Các vị trí ở đầu mút, bó không có que và thói quen thao tác đều có thể làm thay đổi xác suất thực tế. Trang lấy mẫu từ phân bố lý thuyết dưới đây, không mô phỏng thao tác cầm và chia cỏ thi thực tế của người dùng.

1. Ba lần biến và số dư

‘Số Đại diễn là năm mươi, dùng bốn mươi chín.’ Mỗi hào bắt đầu với 49 que, trải qua ba lượt chia làm hai, tách riêng một que, đếm từng nhóm bốn và gom phần dư. Với một bó không rỗng, khi chia hết thì quy ước số dư là 4:

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

Lần biến thứ nhất: bỏ ra 5 hoặc 9 que

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

Gọi số dư sau khi đếm từng nhóm bốn là x và y, mỗi số từ 1 đến 4; x+y chỉ có thể là 4 hoặc 8. Cộng thêm que đã tách riêng, tổng số que bỏ ra D₁ như sau:

Bốn cặp số dư có xác suất bằng nhau ở lần biến thứ nhất
x	y	Số que bỏ ra, kể cả que tách riêng
1	3	5
2	2	5
3	1	5
4	4	9

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

Lần biến thứ hai và thứ ba: bỏ ra 4 hoặc 8 que

Sau lần biến thứ nhất còn 44 hoặc 40 que, đều là bội của 4. Sau khi tách riêng một que, tổng số còn lại đồng dư với 3 theo môđun 4.

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

Tổng số dư chỉ có thể là 3 hoặc 7. Với (1,2), (2,1), bỏ ra tổng cộng 4 que kể cả que tách riêng; với (3,4), (4,3), bỏ ra tổng cộng 8 que. Điều này đúng ở mọi trạng thái có thể đạt tới về sau:

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

Trạng thái được xác định bằng ‘lần biến thứ mấy và số que hiện còn’. Trạng thái tiếp theo chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại và số dư ngẫu nhiên của lần này, nên có thể xem đây là một quá trình Markov với số bước hữu hạn. Đây là mô tả toán học, không phải bằng chứng về hiệu lực huyền học.

2. Phân bố tứ tượng và kỳ vọng

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

Các đường đi qua ba lần biến và xác suất tứ tượng
Tượng／giá trị hào	Tổ hợp số que bỏ ra	Số que còn lại	Xác suất
Lão dương 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
Thiếu âm 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
Thiếu dương 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
Lão âm 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

Trọng số của 6, 7, 8, 9 lần lượt là 1, 5, 7, 3, tổng bằng 16.

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7.75 là giá trị trung bình của cách mã hóa hào bằng số. Thiếu âm có xác suất riêng cao nhất, nhưng tổng xác suất của âm và dương mỗi bên đều bằng một nửa:

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

Vì vậy, không thể từ kỳ vọng suy ra rằng ‘tính nhu của âm được bảo toàn’ hay bất kỳ mệnh đề triết học nào khác. ‘Dương dễ đổi, âm khó đổi’ có thể là một cách diễn giải văn hóa; điều mô hình trực tiếp xác nhận là lão dương xuất hiện thường xuyên hơn lão âm.

3. Hào động, hào tĩnh và các trường hợp đặc biệt

Động và tĩnh của một hào

Dùng M để ký hiệu hào động. Lão dương 9 và lão âm 6 sẽ đổi; thiếu dương 7 và thiếu âm 8 không đổi.

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

Khi sáu hào độc lập, tổng số hào động K tuân theo phân bố nhị thức:

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

Cả sáu hào đều tĩnh

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

Dụng cửu: cả sáu hào đều là lão dương, Càn biến thành Khôn

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

Dụng lục: cả sáu hào đều là lão âm, Khôn biến thành Càn

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

Ở đây, ‘Dụng cửu／Dụng lục’ chỉ điều kiện hiển thị trên trang khi cả sáu hào đều là 9／6; không đồng nhất mọi quy tắc giải đoán cổ đại với điều kiện này. Dãy sáu hào toàn lão âm là dãy giá trị sáu hào cụ thể hiếm nhất trong mô hình.

4. Quẻ Bĩ biến thành quẻ Thái

Bĩ có Càn ở trên và Khôn ở dưới. Để cả sáu hào cùng đảo thành Thái, ba hào trên phải là lão dương và ba hào dưới phải là lão âm. Mảng trong chương trình xếp từ hào đầu dưới cùng đến hào trên cùng, nên là [6, 6, 6, 9, 9, 9]; chỉ khi đọc hình từ trên xuống mới là [9, 9, 9, 6, 6, 6].

A. Xác suất đồng thời khi gieo từ đầu

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

B. Xác suất có điều kiện khi biết bản quẻ là Bĩ

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

Cũng có thể kiểm tra bằng cách chia xác suất đồng thời cho xác suất xuất hiện quẻ Bĩ:

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

Hai xác suất trả lời hai câu hỏi khác nhau, không thể dùng thay cho nhau. Các ký hiệu Pi và Tai lần lượt chỉ Bĩ và Thái.

5. Chương trình và thống kê thực tế

Chương trình ánh xạ số nguyên ngẫu nhiên phân bố đều vào 16 trạng thái có xác suất bằng nhau, rồi lấy một hào theo kết quả của ba lần biến. Việc kiểm thử liệt kê toàn bộ 4⁶＝4096 dãy giá trị hào, áp dụng trọng số 1, 5, 7, 3 để kiểm chứng xác suất lý thuyết của mọi bản quẻ, quẻ biến, Dụng cửu, Dụng lục và Bĩ biến thành Thái, thay vì chỉ đánh giá qua một lượng nhỏ mẫu ngẫu nhiên.

Phân bố lý thuyết không phải dự đoán hành vi của khách truy cập. Thống kê trên trang chịu ảnh hưởng của lựa chọn tham gia, việc từ chối theo dõi và cỡ mẫu. Mối liên hệ giữa gieo lại và mở kinh văn không đồng nghĩa với quan hệ nhân quả, cũng không có nghĩa là người dùng không hài lòng với quẻ trước.