大衍筮法機率與統計論證

一、三變與餘數

「大衍之數五十，其用四十有九」。一爻由 49 根開始，經過三次分二、掛一、揲四與歸奇。對非空的一撮，除盡時以 4 作為餘數：

r(n)=1+((n-1)\bmod 4),\quad n\geq1

L_1+R_1=49,\quad L_1+(R_1-1)=48\equiv0\pmod4

設揲四餘數為 x、y，皆在 1 至 4 之間；x+y 只能是 4 或 8。加上掛一，總移除量 D₁ 如下：

P(D_1=5)=\frac34,\qquad P(D_1=9)=\frac14

第一變後剩 44 或 40 根，皆為 4 的倍數；掛一後的總數同餘 3。

N\equiv0\pmod4\;\Longrightarrow\;N-1\equiv3\pmod4

餘數和只能為 3 或 7。(1,2)、(2,1) 含掛一共移除 4；(3,4)、(4,3) 共移除 8。這在後續所有可達狀態都成立：

P(D_j=4\mid N)=P(D_j=8\mid N)=\frac12,\quad j=2,3

狀態取「第幾變、目前剩餘根數」。下一狀態只依賴目前狀態與本次隨機餘數，可視為有限步馬可夫過程；這是一種數學描述，不是玄學效力的證明。

X=\frac{49-D_1-D_2-D_3}{4}\in\{6,7,8,9\}

三變路徑與四象機率
象／爻數	移除組合	剩餘	機率
老陽 9	(5,4,4)	36	$\frac34\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac3{16}$
少陰 8	(5,4,8)、(5,8,4)、(9,4,4)	32	$2(\frac34\cdot\frac14)+\frac14\cdot\frac14=\frac7{16}$
少陽 7	(5,8,8)、(9,4,8)、(9,8,4)	28	$\frac34\cdot\frac14+2(\frac14\cdot\frac14)=\frac5{16}$
老陰 6	(9,8,8)	24	$\frac14\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac1{16}$

6、7、8、9 的權重依次為 1、5、7、3，總和為 16。

E(X)=\frac{9(3)+8(7)+7(5)+6(1)}{16}=\frac{124}{16}=7.75

7.75 是爻數這個數值編碼的平均值。少陰單項機率最高，但陰、陽合計各占一半：

P(\mathrm{yang})=\frac{5+3}{16}=\frac12,\quad P(\mathrm{yin})=\frac{1+7}{16}=\frac12

因此不能由期望值推出「陰柔守恆」或其他哲學命題。「陽易陰難」可作文化詮釋；可直接由模型確認的是：老陽比老陰更常出現。

以 M 表示動爻，老陽 9 與老陰 6 會變；少陽 7 與少陰 8 不變。

P(M)=\frac{3+1}{16}=\frac14,\qquad P(M^{c})=\frac{5+7}{16}=\frac34

六爻獨立時，動爻總數 K 服從二項分布：

K\sim\operatorname{Binomial}(6,\tfrac14),\quad P(K=k)=\binom6k(\tfrac14)^k(\tfrac34)^{6-k}

P(K=0)=(\tfrac34)^6=\frac{729}{4096}\approx17.80\%

P(\mathrm{all\ 9})=(\tfrac3{16})^6=\frac{729}{16777216}\approx0.00435\%

P(\mathrm{all\ 6})=(\tfrac1{16})^6=\frac1{16777216}\approx0.00000596\%

這裡的「用九／用六」專指本網站六爻全為 9／6 時的顯示條件；不把所有古代占筮解讀規則等同於此。全老陰是本模型中最罕見的特定六爻值序列。

否為乾上坤下。要六爻全部翻轉成泰，上三爻須為老陽，下三爻須為老陰。程式陣列由初爻至上爻排列，故為 [6, 6, 6, 9, 9, 9]；由上往下讀圖才是 [9, 9, 9, 6, 6, 6]。

P(\mathrm{Pi}\to\mathrm{Tai})=(\tfrac3{16})^3(\tfrac1{16})^3=\frac{27}{16777216}\approx0.000161\%

P(9\mid\mathrm{yang})=\frac{3/16}{8/16}=\frac38,\quad P(6\mid\mathrm{yin})=\frac{1/16}{8/16}=\frac18

P(\mathrm{Tai}\mid\mathrm{Pi})=(\tfrac38)^3(\tfrac18)^3=\frac{27}{262144}\approx0.0103\%

也可以用聯合機率除以否卦出現率驗算：

P(\mathrm{Pi})=(\tfrac12)^6=\frac1{64},\quad \frac{27/16777216}{1/64}=\frac{27}{262144}

兩個機率回答不同問題，不能互換。符號 Pi、Tai 分別指否、泰。

程式以均勻隨機整數映射到 16 個等機率狀態，再依三變結果取得單爻。測試逐一枚舉 4⁶＝4096 種爻值序列，按 1、5、7、3 加權，驗證所有本卦、變卦、用九、用六及否之泰的理論機率，而不是只以少量隨機抽樣判斷。

理論分布不是訪客行為預測。站內統計受參與選擇、拒絕追蹤與樣本量影響；再起卦與開啟經文的關聯不等於因果，也不代表不滿意上一卦。